s . Les valeurs échantillonnées de x sont : On veut reconstruire, par exemple, la valeur du signal en t=0.22s à partir des échantillons précédents. sin En effectuant la transformée de Fourier inverse de l'expression précédente on a l'expression de x(t) : \(x(t)=(x*sinc)(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}x(kT_e)\frac{sin(\pi F_e (t-kT_e))}{\pi F_e (t-kT_e))}\) où * représente la convolution. x e {\displaystyle e_{n}} ∞ θ Le signal échantillonné peut donc être considéré comme une suite de valeurs discrètes de x(t).  ; Pour les signaux porteurs d'information, limités a priori en durée et en résolution (par le bruit de fond), la transformation de Fourier fournit une description en fréquences adéquate, et de cette transformée, on peut revenir, par la transformation inverse, à la description temporelle. n 5.3.3 De l’art de reconstituer un signal continu à partir du signal échantillonné 128 5.4 De la transformée de Fourier discrète aux analyseurs de spectre numériques . Un raisonnement simple reposant sur les propriétés de la transformée de Fourier et de la distribution de Dirac montre que la transformée d'un signal échantillonné est périodique, et identique à la transformée de Fourier du signal lui-même dans la bande de fréquences d'origine. Reconstitution du signal : formule de Shannon, Proceedings of the Institute of Radio Engineers, « Ce fait est connu dans l'art de la communication. d'une fonction , f ( x= − 2est la puissance moyenne de la composante alternative -σ. . ( x f f = − Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. f = ( {\displaystyle \pi } f f e {\displaystyle \left[-f_{\mathrm {max} };f_{\mathrm {max} }\right]} {\displaystyle \operatorname {\widehat {s^{*}}} (f)} ⁡ ^ Le signal "Je ne sais pas intro" ré-échantillonné à 4 kHz et son spectre Noter la disparition des coups de baguettes visible sur les formes d'ondes des pistes ré-échantillonnées en début de morceau. On considère un signal inscrit entre une fréquence minimale et une fréquence maximale. Nous déduisons de cette observation qu'il faut que le signal d'origine ne puisse contenir qu'une seule des sinusoïdes de fréquence Le théorème inclut des possibilités moins souvent mises en pratique, comme l'échantillonnage d'un signal à bande de fréquences étroite à moins du double de la fréquence maximale. max La fonction m La démonstration de Shannon, en effet, si elle répond aux critères de rigueur d'une philosophie pragmatiste, laisse le mathématicien idéaliste insatisfait. = C'est la description qui prévaut dans la plupart des manuels aujourd'hui. c Remarque: Pour un signal entre a et b, on a, en posant X t =∑ k=−∞ ∞ ckexp 2iπk t−m b−a avec ck= 1 b−a ∫ a b X t exp −2iπk t−c b−a dt c= a b 2 Exercice: Trouver la formule équivalente pour la définition en * L'élément qui est additionné pour chaque période est le spectre X du signal analogique. e Puisque la transformée en exprimant directement la fonction Spectre Soit s un signal, échantillonné à la période Te. (justifier) f) On peut reconstruire parfaitement un signal x(t)à partir de sa version échantillonnée x[n] selon la formule : s(te {\displaystyle f_{e}/2} ^ Le théorème de Shannon doit être respecté ! ) ) ) n x Dans tous ces cas, le même nombre total d'échantillons est nécessaire[1]. Reconstruction d’un signal : interpolation Pour retrouver un signal à partir de sa version échantillonnée, on a donc maintenant une formule d’interpolation : XI(t)= å m2Z X(mTe) sinc t mTe Te Il nous reste une question cruciale à ) ) x {\displaystyle \left[-f_{\mathrm {max} };f_{\mathrm {max} }\right]} / Le théorème d'échantillonnage donne la réponse mathématique à la question « combien d'échantillons faut-il pour représenter exactement un signal ? ^ . par la valeur du coefficient déjà calculée, on obtient ː. Une partie des spectres translatés se recouvre donc inévitablement. f La théorie des distributions, publiée en 1951, sert aujourd'hui de base aux démonstrations basées sur la distribution de Dirac. , ∗ f {\displaystyle f_{\mathrm {max} }} ( Recherchons la valeur des échantillons La théorie des distributions permet de surmonter cette limitation théorique[10]. , correspondant à une pulsation / Nous n'obtenons pas la vraie valeur car le spectre du signal réel n'est pas nul à l'infini. e par un peigne de Dirac , somme d'impulsions de Dirac L'expression mathématique du calcul de x à partir de xe est alors donnée par : \(\sqcap(\frac{\nu}{F_e}).X_e(\nu)=X(\nu)\) pour retrouver le spectre de x en multipliant le spectre de de xe. {\displaystyle \operatorname {\hat {s}} (\omega )} ) chantillonnage tape n cessaire quand le signal sous-jacent est analogique Dans le cas 1-D , lÕ chantillonnage est bien e xpliqu , bien conn u e t bien utilis La g n r alisation a v eugle du 1-D au M-D est dangereuse : Les h ypoth 1. multiple de la demi-période correspondant à / Nous verrons plus loin que la reconstruction se fait en pratique dans le domaine temporel et non pas de cette manière. ind´ep. ⁡ Réciproquement, l'échantillonnage avec des échantillons régulièrement espacés peut décrire un signal à condition qu'il ne contienne aucune fréquence supérieure à la moitié de la fréquence d'échantillonnage, dite fréquence de Nyquist. {\displaystyle s(x)} est un nombre entier : On reconnaît dans cette l'intégrale le coefficient du −n-ième terme du développement en série de Fourier de la fonction Pour arriver à cette conclusion, il faut mettre en œuvre les concepts et les théorèmes de l'analyse spectrale. ) {\displaystyle \operatorname {\hat {s}} (\omega )} t Dans la plupart des applications, la fréquence du signal d'origine est comprise entre 0 et une fréquence maximale. ⁡ ) {\displaystyle s^{*}(t)} {\displaystyle s(x)} 1 / a {\displaystyle x={\frac {n}{2f_{\max }}}} {\displaystyle \theta =0} e , la période d'échantillonnage. Théorème de shannon formule La formule du théorème de Shannon nous montre immédiatement que la fréquence d'échantillonnage doit être supérieure au double de la fréquence maximum, soit 6 800 Hz. a θ La formule de Shannon s'applique à un signal non limité dans le temps. {\displaystyle kf_{e}\pm f_{0}} t a en fonction de max 1 Formule de N YQUIST pratique. {\displaystyle f_{\mathrm {max} }} Une fois cette opération faite, on peut effectuer la transformée de Fourier inverse et l'on obtiendra x(t). La dernière modification de cette page a été faite le 30 juillet 2020 à 17:08. Une conséquence de l'échantillonnage importante est : Le spectre du signal discret Xe est un spectre périodique de période Fe=1/Te, Le spectre du signal échantillonné est représentatif du signal continu entre -Fe/2 et +Fe/2, Le spectre d'un signal composé de nombres réel étant à symétrie hermitienne (\(X( \nu)^*=X(-\nu)\)), Le spectre du signal réel échantillonné est représentatif du signal continu entre 0 et +Fe/2, \(x(t)=(x*sinc)(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}x(kT_e)\frac{sin(\pi F_e (t-kT_e))}{\pi F_e (t-kT_e))}\), \(x(t)=20\sqcap(t-\frac{1}{2}) \sin(2\pi t)\). Les valeurs des échantillons déterminent donc entièrement / e / ^ 2 par une fonction porte s {\displaystyle e_{n}} Quelques années plus tard, on joint à ce nom celui de Nyquist, de la même entreprise, qui avait ouvert la voie dès 1928. prélevés à ) En raison de la difficulté qu'il y a à réaliser un filtre ayant un flanc raide au droit de la fréquence de coupure, il est d'usage de définir une bande de garde dans laquelle la transition est plus douce. s ) − . Montrons que deux sinusoïdes dont la fréquence a le même écart à un multiple quelconque de la fréquence d'échantillonnage peuvent produire les mêmes échantillons. ) ( e ( {\displaystyle {T_{e}}} Le théorème d'échantillonnage, dit aussi théorème de Shannon ou théorème de Nyquist-Shannon, établit les conditions qui permettent l'échantillonnage d'un signal de largeur spectrale et d'amplitude limitées. Le signal dont s'occupe le théorème est limité en fréquence. {\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\theta }}} x 2 Dans le cas général, le théorème d'échantillonnage énonce que l’échantillonnage d'un signal exige un nombre d'échantillons par unité de temps supérieur au double de l'écart entre les fréquences minimale et maximale qu'il contient. Il faut pour cela que deux signaux différents ne fournissent pas les mêmes échantillons. T ) Traitement du signal Dans l’exposé suivant, w et f désigneront des fréquences. \(TF(x_e)=X_e(\nu)=\frac{1}{T_e}X(\nu) * \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\nu-\frac{k}{T_e})\) où * est le symbole de convolution et en se rappelan que : Le spectre du signal échantillonné est donc périodique de période 1/Te. ^ ) − La démonstration qui suit reprend celle de Shannon formulée en 1949[8]. ( ^ où ⁡ Ce point est Traitement du signal Dans l’exposé suivant, w et f désigneront des fréquences.Signaux déterministes discrets é chantillonnage Soit T e la période d’échantillonnage.Spectre Soit s un signal, échantillonné à la période T e.. Le graphique du haut représente le signal analogique et le signal échantillonné. Une autre solution est d'utiliser le spectre du signal discret. 2 e [ = ) Par conséquent. ω Puisque la transformée de Fourier d'une fonction la définit entièrement, déterminer , en prenant l'intervalle ∞ ( {\displaystyle s(x)} {\displaystyle \delta (t)} max s , c'est déterminer du signal d'origine s(t), on obtient cette dernière transformée en multipliant Même si les coefficients de fréquences hors de cet intervalle ne sont pas nuls, on les néglige dès lors qu'ils ne contribuent pas de façon significative à la valeur moyenne quadratique totale. sur l'intervalle Ce spectre d'un signal périodique idéal ne répond pas aux conditions de Dirichlet et on ne peut pas lui appliquer la transformation de Fourier inverse, pour retrouver la fonction périodique. dans l'intervalle de fréquences Très concise, elle n'évoque certains aspects qu'en quelques mots ; son objectif principal était de donner une définition rigoureuse de l'information, à partir de l'intervalle de fréquences et du bruit. en fonction de son échantillonnage. Le signal est périodique de période 1 aussi la puissance vaut P ω ( = f ( s 2 max m π Lorsque la condition d'échantillonnage est satisfaite elle équivaut à une succession de copies de la transformée du signal initial. À partir des années 1960, le théorème d'échantillonnage est souvent appelé théorème de Shannon, du nom de l'ingénieur qui en a publié la démonstration en posant les bases de la théorie de l'information chez Bell Laboratories en 1949. {\displaystyle \theta } Résultat de la reconstruction du signal à partir des échantillons en utilisant le spectre du signal échantillonné. 1 [ t ( et 0 pour tous les autres La transformée de Fourier {\displaystyle \operatorname {\hat {s}} (\omega )} = 2 f est donnée par : La valeur des échantillons x x déterminent donc les coefficients du développement en série de Fourier de . ω La fréquence standard qui a été choisie dans le réseau numérique est de 8 KHz, ce qui satisfait les conditions ci-dessus. Leurs auteurs ont recouru aux ouvrages classiques de mathématiques, et ont rattaché le théorème à des travaux plus anciens, notamment ceux de Cauchy[5], attribution contestée[6]. n n θ Une première contrainte est que le spectre du signal continu soit limité dans l'espace des fréquences et une seconde condition est que la fréquence d'échantillonnage soit au moins égale au double de la fréquence maximale du signal. s Par contre, la transformée de Fourier d'un signal de durée limitée s'étend nécessairement sur toute l'étendue des fréquences. *0.0566 soit une valeur de 20.56. et 0 ailleurs : Il suffit ensuite de prendre la transformée de Fourier inverse pour reconstituer a) Soit un signal discret x(n) dont le spectre d’amplitude est représenté en fréquences normali- sées sur la figure 2. Dans la partie précédente nous avons vu comment retrouver le spectre du signal continu à partir du spectre du signal échantillonné.